sábado, 18 de fevereiro de 2012

Como fazer gráficos hachurados no R


Muitas vezes queremos destacar partes em um gráfico, para melhores efeitos didáticos. Podemos fazer isso utilizando o programa R (http://www.r-project.org/).
Usaremos como exemplo a curva da distribuição Normal Padrão, essa é a função que está dentro de cord.y e curve (abaixo).

# Fazendo gráfico com hachura
>cord.x <- c(0,seq(0,0.75,0.01),0.75)
>cord.y <- c(0,dnorm(seq(0,0.75,0.01)),0)
>curve(dnorm(x,0,1),xlim=c(-3,3),main='Normal padrão') # main é o título do gráfico
>polygon(cord.x, cord.y, col=3)

Usando o código acima, o gráfico abaixo é gerado pelo programa:


Conversão de bases numéricas com números fracionários


Muitos sabem como passar um número da base decimal para a binária, quando os números são inteiros. Mas e quando o número não for? Eis alguns exemplos:


Da base 2 para a base 10:
1011,12= 1 *23+ 0 *22+1*21+1*20+1*2-1=11,510
O que acontece: Depois da vírgula, o expoente fica negativo.


Da base 10 para a base 2:
Primeiro, separamos a parte inteira da fracionária.
11,510 = 1110 + 0,510
Agora, operamos com a parte inteira normalmente, dividindo por 2 sucessivamente até o resto ser igual a 0.
1110 = 10112
A seguir, trabalharemos com a parte fracionária, agora multiplicando por 2.
0,5 * 2 = 1,00
Neste caso, na primeira multiplicação já chegamos ao número inteiro. Se ainda restasse uma parte fracionária, continuaríamos multiplicando por 2, até chegar ao resultado inteiro.
0,510 = 0,12
Juntamos agora a parte inteira e a fracionária
1110+0,510=10112 + 0,12 = 1011,12



domingo, 22 de janeiro de 2012

Regra da Tabuada do Oito

Uma regra que descobri (mas que talvez já a tenham descoberto) para fazer facilmente a tabuada do oito é assim: o número será formado por duas partes. Na primeira, começamos do 0 e vamos aumentando de um em um. Para múltiplos de 4, repetimos o número uma vez. Na segunda parte, começamos do 8 e vamos subtraindo 2 unidades. Quando chegamos no 0, voltamos para o 8.


08
16
24
32
40
48
56
64
72
80
88
96
104
112
120
128
[...]



domingo, 18 de setembro de 2011

Sequência de Fibonacci em C

Com este algoritmo, é possível ter a sequência dos n primeiros números da sequência de Fibonacci, e ainda a divisão do último número obtido pelo anterior, o que nos dá uma aproximação da razão áurea (φ = 1,618... ).




#include
int main () {
int a, b, i, n, aux;
double r;
scanf("%d", &n);
a=1;
b=1;
for(i=3; i<=n; i++) {
aux=b;
b=a+b;
a=aux;
r=(double)b/a; //cast
printf("%d razao %0.20lf\n", b, r); //resultado da razao com 20 casas decimais
}
system("pause");
return 0;
}


domingo, 24 de julho de 2011

Quadrados Mágicos

Quadrados mágicos são tabelas quadradas de lado n, em que a soma dos números das linhas(horizontais e verticais) e diagonais é sempre a mesma. Por exemplo, a seguir, vemos um quadrado mágico muito conhecido de lado 4 x 4:

Este quadrado é muito curioso, pois além de obedecer as condições para ser considerado um quadrado mágico (a soma dos números das linhas e diagonais é igual a 34), ainda possui muitas outras características interessantes.

Seu criador foi o Albrecht Dürer, que em 1514 fez a gravura seguinte,
denominada Melencolia I. No canto superior direito da imagem, vemos o quadrado da figura anterior.

A última linha do quadrado mostra o ano em que ele fez a gravura (1514) e os números corres
pondentes às iniciais do seu nome (A é a primeira letra do alfabeto, e D é a quarta letra).



















Melencolia I, xilogravura de Albrecht Dürer, 1514

Além disso, o número 34 aparece em diversas outras situações nesse quadrado mágico, como segue na seguinte imagem:

O terceiro quadrado, por exemplo, indica que somando as extremidades obtemos o valor 34, assim como somando os quatro números centrais. Da mesma forma, conseguimos encontrar de outra
s formas o mesmo 34, de formas simétrica.













O maior quadrado mágico de que se tem notícia é o de Benjamin Franklin, que o publicou em carta datada de 1769. Esse quadrado tem dimensões 16 x 16. No entanto, é um quadrado mágico defeituoso, pois as diagonais não somam 2056. Porém, a soma de qualquer subquadrado 2 x 2 (e há 225 deles) é 514, o que significa que a soma de cada subquadrado de 4 x 4 é 2056.

sexta-feira, 10 de junho de 2011

O que é, o que é...?

Qual o objeto que, quanto maior sua área de superfície, menor seu volume?

Para responder a essa questão, precisamos conhecer o que é a esponja de Menger.
Em 1926, o matemático Karl Menger surgiu com a ideia de uma versão em 3d do tapete de Sierpinsk, conhecida como a esponja de Menger. Começamos com um cubo. Imagine que seja formado por 27 subcubos iguais e remova o subcubo do centro, assim como os seis subcubos no centro de cada lado. Observe o segundo cubo da figura:

Continuando o processo ad infinitum, obtemos o objeto que responde a pergunta inicial da postagem.




Observe o processo de construção no vídeo abaixo.



Fonte: Alex no país dos números, de Alex Bellos

quarta-feira, 25 de maio de 2011

Sobre erros e acertos

Às vezes, errar é bom. Porque quando acertamos, percebemos como o mundo seria caótico se o que tivéssemos errado fosse certo.

Caroline Mendes